Question

19、设x₁、x₂、y₁、y₂是实数，且满足x₁²+x₂²≤1，证明不等式（x₁y₁+x₂y₂-1）²≥（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）．

Answer 1

分析：原不等式即为（x₁y₁+x₂y₂-1）²-（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）≥0，由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：（x₁²+x₂²-1）x-2（x₁y₁+x₂y₂-1）x+（y₁²+y₂²-1）=0，实现问题的转化，从而使不等式得到证明．

解答：证明：（1）当x₁²+x₂²=1时，原不等式成立．
（2）当x₁²+x₂²＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x₁²+x₂²-1）x-2（x₁y₁+x₂y₂-1）x+（y₁²+y₂²-1），其根的判别式△=4（x₁y₁+x₂y₂-1）²-4（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）．
由题意x₁²+x₂²＜1，函数f（x）的图象开口向下．
又∵f（1）=x₁²+x₂²-2x₁y₁-2x₂y₂+y₁²+y₂²=（x₁-y₁）²+（x₂-y₂）²≥0，
因此抛物线与x轴必有公共点．
∴△≥0．
∴4（x₁y₁+x₂y₂-1）²-4（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）≥0，
即（x₁y₁+x₂y₂-1）²≥（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）．

点评：本题主要考查了不等式的证明，本题利用构造法证明不等式，领悟并掌握构造法，不仅在不等式的证明中能受益，在其它数学解题中也可以简化解题．