Question

(2005湖南，20)自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力和捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第n年年初的总量，，且，不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a、b、c．

(1)求与的关系式；

(2)猜测：当且仅当、a、b、c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

(3)设a=2，c=1，为保证对任意，都有，，则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)从第n年初到第n＋1年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，，即，． (2)若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，从而由式得恒等于0，，所以，即．因为，所以a＞b． 猜测：当且仅当a＞b且时，每年年初鱼群的总量保持不变． (3)若b的值使得，，由，，，，特别地，有． 即而，所以， 由此猜测b的最大允许值是1． 下证当，b=1时，都有，． ①当n=1时，结论显然成立； ②假设当n=k时结论成立，即； 则当n=k＋1时，， 又因为， 所以．故当n=k＋1时结论也成立． 由①、②可知，对于任意，都有． 综上所述，为保证对任意都有，，则捕捞强度b的最大允许值是1．

提示：

剖析：本题考查数列、概念、归纳猜想的能力以及数学归纳法等综合知识．