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数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an,n∈N*
(1)计算数列{an}的前4项;
(2)猜想an的表达式,并证明;
(3)求数列{n•an}的前n项和Tn
分析:(1)令n=1、2、3、4,再利用公式Sn=2n-an可以直接求出出数列{an}的前4项,
(2)根据an=Sn-Sn-1可得an=2-an+an-1即:an=
1
2
an-1+2,然后整理得an-2=
1
2
(an-2),进而求出an的通项公式,
(3)首先求出数列{n•an}的数列表达式an=2n-n(
1
2
)
n-1
,然后等差数列求和公式求出数列{2n}的前n项和,再利用错位相减法求出数列{n(
1
2
)
n-1
}的前n项和,进而求出数列{n•an}的前n项和Tn
解答:解:(1)计算得:a1=1,a2=
3
2
a3=
7
4
a4=
15
8
.(3分)
(2)∵sn=2n-an当n≥2时
∴sn-1=2(n-1)-an-1两式相减可得:an=2-an+an-1即:
a n=
1
2
an-1+1
?a n-2=
1
2
(an-1-2)

所以,数列{an-2}是首项为a1-2=-1公比为
1
2
的等比数列
a n-2=(-1)•(
1
2
)n-1
?a n=2-(
1
2
)n-1

an=
2n-1
2n-1
(7分)
当n=1时,a1=1,
an=
2n-1
2n-1

(3)因为n•an=2n-n•(
1
2
)n-1

设数列{n•(
1
2
)
n-1
}
的前n项和为MnMn
=1•(
1
2
)0
+2•(
1
2
)1
+3•(
1
2
)2
+n•(
1
2
)n-1
1
2
Mn

=1•(
1
2
)1
+2•(
1
2
)2
+(n-1)•(
1
2
)n-1
+n•(
1
2
)n

两式相减可得:
1
2
Mn
=(
1
2
)0
+(
1
2
)1
+(
1
2
)2
++(
1
2
)n-1
-n•(
1
2
)n

=
1-(
1
2
)
n-1
1-
1
2
-n•(
1
2
)n
=2-(
1
2
)n
-n•(
1
2
)n

=2-(n+1)•(
1
2
)n
Mn
=4-(n+1)•(
1
2
)n+1
(12分)
点评:本题主要考查数列求和和数列递推式的知识点,求数列递推式可以用数学归纳法也可以直接利用an=Sn-Sn-1可求出an的通项公式,第三问求和需要利用错位相减法解答,本题难度不是很大.
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an+3
2
,n=1,2,3,….
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(Ⅱ)当a=
1
2
时,证明:an
3
2

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1
S1+1
+
1
S2+2
+…+
1
Sn+n

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