Question

某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度．通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖惩（如下表）．某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、-5万元．设该企业当年因改造而增加利润为ξ．
（Ⅰ）在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格及其以上等次的概率是多少？
（Ⅱ）求ξ的数学期望．

评价得分	（0，60）	【60，70）	【70，80）	【80，100】
评价等级	不合格	合格	良好	优秀
奖惩 （万元）	-80	30	60	100

Answer 1

【答案】分析：（1）由于该企事业被抽中的概率为50%，该企业被评为合格时必须抽中优秀、良好或合格的产品，而能达到以上三个等次的概率分别为，故易得到该企业能被抽到且被评为合格及其以上等次的概率．
（2）先要根据题意，分析ξ所有可能取的值，并分析每一种取值的情况，逐一算出其出现的概率，然后列出分布列，代入数学期望公式即可求解．
解答：解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P，
则
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为-185，-105，-80，-60，-50，-40，0，60，则，
则其分布列为

∴（万元）
点评：解决等可能性事件的概率问题，关键是要弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．同时（2）中概率、数学期望的计算也是高考的热点．对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤．