Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量m＝（sinB，1﹣cosB）与向量n＝（2，0）的夹角θ的余弦值为．

（1）求角B的大小；

（2）若b＝，求a+c的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2） .

【解析】

(1)由向量m＝(sinB，1－cosB)，向量n＝(2，0)可求得cosθ＝，即可求角B的大小；

（2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac，结合重要不等式可知b2=(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，给出b＝即可求得a+c的取值范围．

(1)∵m＝(sinB，1－cosB)，n＝(2，0)，∴m·n＝2sinB，

|m|＝ .

∵0<B<π，∴0<<.∴sin>0.

∴|m|＝2sin.

又∵|n|＝2，

∴cosθ＝ .

∴，∴B＝.

(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a＋c≤2.

又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．