Question

设函数f(x)＝a－2－sin²x＋2(a－1)sinxcosx－5cos²x(a∈R，x∈R)．

(1)若a＝2＋1，试说明y＝f(x)的图像可以由y＝sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

(2)是否存在常数a使得不等式|f(x)|≤6对任意的x∈R成立？若成立，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

f(x)＝a－2－＋(a－1)sin2x－(1＋cos2x)＝(a－1)sin2x－2cos2x＋a－5 　　(1)因为a＝2＋1，所以 　　f(x)＝2sin2x－2cos2x＋2－4＝4sin(2x－)＋2－4＝4sin[2(x－)]＋2－4 　　所以由y＝sinx图像上的每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y＝sin2x的图像，再将所得的图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的4倍(横坐标不变)，得到y＝4sin2x的图像，又向右平移个单位，得到y＝4sin[2(x－)]的图像，最后再向下平移4－2个单位，即能得到f(x)的图像． 　　(2)f(x)＝sin(2x－)＋a－5，依题意，x∈R时，－6≤f(x)≤6， 所以即 　　解得1≤a≤，此即所求的a的取值范围．