Question

15．平面直角坐标系xOy中，曲线C₁上的动点M到点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1．
（1）求曲线C₁方程；
（2）设P为C₁上一点（位于y轴右侧），过P作C₁的切线，与x轴交于A．直线AB与圆C2：x²+（y-1）²=1相切于点B（异于点O），问△PAB与△PAO的面积之比是否为定值？若是，求出该比值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用曲线C₁上的动点M到点F（0，1）的距离与它到y=-1的距离相等，可知曲线C₁是以F（0，1）为焦点，开口向上的抛物线，进而计算即得结论；
（2）通过设P（x₀，$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$），进而计算出切线AP方程为y=$\frac{{x}_{0}}{2}$x-$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$，并令y=0可知A（$\frac{1}{2}$x₀，0），通过设圆C₂的切线AB的方程为x=ty+$\frac{1}{2}$x₀，利用1=$\frac{|0-t-\frac{1}{2}{x}_{0}|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$可知圆C₂的切线AB的方程为x=$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{4{x}_{0}}$y+$\frac{1}{2}$x₀，利用圆外一点切线的性质计算可知d_AB=y_P，进而可得结论．

解答 解：（1）∵曲线C₁上的动点M到点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，
∴曲线C₁上的动点M到点F（0，1）的距离与它到y=-1的距离相等，
∴曲线C₁是以F（0，1）为焦点，开口向上的抛物线，
∴曲线C₁方程为：x²=4y；
（2）结论：△PAB与△PAO的面积相等．
理由如下：
设P（x₀，$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$），则过点P的曲线C₁的切线的斜率为$\frac{1}{2}$x₀，
则切线AP方程为：y=$\frac{{x}_{0}}{2}$x-$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$，
令y=0可知x=$\frac{1}{2}$x₀，即A（$\frac{1}{2}$x₀，0），
设圆C₂的切线AB的方程为：x=ty+$\frac{1}{2}$x₀，
则1=$\frac{|0-t-\frac{1}{2}{x}_{0}|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，整理得：t=$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{4}$，
∴圆C₂的切线AB的方程为：x=$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{4{x}_{0}}$y+$\frac{1}{2}$x₀，
点P到直线AB的距离d_AB=$\frac{|{x}_{0}+（\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{1}{{x}_{0}}）•\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}{x}_{0}|}{\sqrt{1+（\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{1}{{x}_{0}}）^{2}}}$=$\frac{|\frac{{{x}_{0}}^{3}+4{x}_{0}}{16}|}{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$，
又∵AB=OA，d_AB=y_P，
∴△PAB与△PAO的面积相等．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．