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    如果存在常数a使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
    （1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
    （2）若有穷递增数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{bn}的前n项和；
    （3）已知有穷等差数列{cn}的项数是n（n≥3），所有项之和是B，试判断数列{cn}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．
    【答案】分析：（1）根据数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，可得a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1，由此可求m和a的值；
    （2）不妨设有穷数列{bn}的项数为n，根据有穷数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，可得bi+bn+1-i=a（1≤i≤n），从而可得数列{bn}的前n项和；
    （3）证明对数列{cn}中的任意一项ci（1≤i≤n）即可．
    解答：（1）解：因为数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”
    所以a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1----------（1分）
    故a-m=1，a-4=2-------------------（3分）
    即a=6，m=5．-------------------（4分）
    （2）证明：不妨设有穷数列{bn}的项数为n
    因为有穷数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，所以a-bn，a-bn-1，…，a-b1也是该数列的项，-----（5分）
    又因为数列{bn}是递增数列b1＜b2＜…＜bn，且a-bn＜a-bn-1＜…＜a-b1-------------------（6分）
    则bi+bn+1-i=a（1≤i≤n）-------------------（8分）
    故-------------------（10分）
    （3）解：数列{cn}是“兑换数列”．证明如下：
    设数列{cn}的公差为d，因为数列{cn}是项数为n项的有穷等差数列
    若，则
    即对数列{cn}中的任意一项ci（1≤i≤n）-------（12分）
    同理可得：若，也成立，
    由“兑换数列”的定义可知，数列{cn}是“兑换数列”；-------------------（14分）
    又因为数列{bn}所有项之和是B，所以，即-------------------（18分）
    点评：本题考查新定义，考查学生的阅读能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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    （1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
    （2）若有穷递增数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{bn}的前n项和Sn=
    n2
    •a    ；
    （3）已知有穷等差数列{cn}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，试判断数列{cn}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n0和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．

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    （2）已知有穷等差数列bn的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列bn是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；
    （3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

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