Question

已知定义在(－1，1)上的函数f(x)满足f＝1，且对x、y∈(－1，1)时，有f(x)－f(y)＝．

(1)判断f(x)在(－1，1)上的奇偶性，并证明之；

(2)令x₁＝，x_n+1＝，求数列{f(x_n)}的通项公式；

(3)设T_n为数列{}的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*，有T_n＜成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝0． 　　又当x＝0时，f(0)－f(y)＝f(－y)，即f(－y)＝－f(y)． 　　∴对任意x∈(－1，1)时，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数． 　　(2)∵{xn}满足x1＝，xn+1＝， 　　∴0＜xn＜1．∴f(xn+1)＝f． 　　∵f(x)在(－1，1)上是奇函数，∴f(－xn)＝－f(xn)，∴f(xn+1)＝2f(xn)，即．∵{f(xn)}是以f(x1)＝f＝1为首项，以2为公比的等比数列， 　　∴f(xn)＝2n－1． 　　(3)Tn＝． 　　假设存在正整数m，使得对任意的n∈N*，有Tn＜成立，即2－对n∈N*恒成立． 　　只需≥2，即m≥10，故存在正整数m，使得对n∈N*，有Tn＜成立． 　　此时m的最小值为10．