Question

（2012•深圳二模）如图，已知动圆M过定点F（0，1）且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，动点F′的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A（x₀，y₀）是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q．
①证明：直线PQ的斜率为定值；
②记曲线C位于P、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的距离最大，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）设F′（x，y），则可得M（

x

2

，

y+1

2

），圆M的直径为|FF′|=

x2+(y-1)2

，利用动圆M与x轴相切，即可求得曲线C的方程；
（2）①确定A（x₀，

x02

4

），设P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），利用直线AP，AQ的倾斜角互补，可得它们的斜率互为相反数，从而可得直线PQ的斜率；
②由①可知，k_PQ=-

x0

2

，则若点B在曲线段L上，且点B到直线PQ的距离最大，曲线C在点B处的切线l∥PQ，设直线的方程，代入抛物线方程，利用判别式，即可求得结论．

解答：（1）解：设F′（x，y），因为点F（1，0）在圆M上，且点F关于圆心M的对称点为F′，
所以M（

x

2

，

y+1

2

），…（1分）
且圆M的直径为|FF′|=

x2+(y-1)2

．…（2分）
由题意，动圆M与x轴相切，所以

|y+1|

2

=

x2+(y-1)2

2

，两边平方整理得：x²=4y，
所以曲线C的方程为x²=4y．             …（5分）
（2）①证明：因为A（x₀，y₀）是曲线C：x²=4y上的点，所以y₀=

x02

4

，∴A（x₀，

x02

4

）．
又点P、Q在曲线C：x²=4y上，所以可设P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），…（6分）
而直线AP，AQ的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，
即

x12 4 - x02 4

x1-x0

=-

x22 4 - x02 4

x2-x0

，整理得x₁+x₂=-2x₀．   …（8分）
所以直线PQ的斜率k_PQ=

x22 4 - x12 4

x2-x1

=

x1+x2

4

=-

x0

2

为定值．      …（10分）
②解：由①可知，k_PQ=-

x0

2

，则若点B在曲线段L上，且点B到直线PQ的距离最大，
∴曲线C在点B处的切线l∥PQ． …（11分）
设l：y=-

x0

2

x+b，代入抛物线方程，消去y，得x²+2x₀x-4b=0．
令△=（2x₀）²-4×1×（-4b）=0，整理得b=-

x02

4

．…（12分）
代入方程组，解得x=-x₀，y=

x02

4

．
所以，点B的坐标是（-x₀，

x02

4

）． …（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线的斜率，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．