Question

12．经过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程．

Answer 1

分析 设直线OA的方程为y=kx（k≠0），与抛物线y²=2px（p＞0）联立即可解出用k表示的A点的坐标，再由条互相垂直的弦OA、OB这一关系，两直线过同一点原点，斜率互为负倒数的关系得出B的坐标．由M是AB的中点，故可由中点坐标公式得到点M的以k为参数的参数方程．

解答 解：∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0，
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0），
∴联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得x_A=$\frac{2p}{{k}^{2}}$，y_A=$\frac{2p}{k}$，
由于OA，OB互相垂直，以-$\frac{1}{k}$代上式中的k，
可得x_B=2pk²，y_B=-2pk，
∴A（$\frac{2p}{{k}^{2}}$，$\frac{2p}{k}$），B（2pk²，-2pk），
设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得：
x=$\frac{2p{k}^{2}+\frac{2p}{{k}^{2}}}{2}$=pk²+$\frac{p}{{k}^{2}}$，y=$\frac{-2pk+\frac{2p}{k}}{2}$=-pk+$\frac{p}{k}$，
则线段AB的中点M的轨迹的参数方程是
$\left\{\begin{array}{l}{x=p{k}^{2}+\frac{p}{{k}^{2}}}\\{y=-pk+\frac{p}{k}}\end{array}\right.$（k为参数）．

点评 本题考查直线与抛物线的综合问题，解题的关键是掌握直线与抛物线的位置关系中的相关的知识，要注意根据两直线垂直且过同一点这一关系，求得点B的坐标，由垂直的条件即两直线的斜率之积为-1，运用中点坐标公式可得参数方程，属于中档题．