Question

6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，向量$\overrightarrow{OP}$=（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（m，$\frac{{S}_{m}}{m}$），$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（k，$\frac{{S}_{k}}{k}$）（n，m，k∈N^*），且$\overrightarrow{OP}$=$λ•\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$μ•\overrightarrow{O{P}_{2}}$，则用n，m，k表示μ=$\frac{n-m}{k-m}$．

Answer 1

分析 可设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，从而可以得出$\frac{{S}_{n}}{n}={a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$，从而得出{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列，从而便有三点P，P₁，P₂共线，从而有$\overrightarrow{{P}_{1}P}=k\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$，可以用$\overrightarrow{O{P}_{1}}，\overrightarrow{O{P}_{2}}$表示出向量$\overrightarrow{OP}$，进而可得到μ=k，可求出向量$\overrightarrow{{P}_{1}P}，\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的坐标，带入$\overrightarrow{{P}_{1}P}=μ\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$便可求出μ．

解答 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则：
$\frac{{S}_{n}}{n}={a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$；
∴数列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列；
∴P，P₁，P₂都在直线y=${a}_{1}+\frac{x-1}{2}d$上；
即P，P₁，P₂三点共线；
∴存在实数k，使$\overrightarrow{{P}_{1}P}=k\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$；
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{P}_{1}}+k（\overrightarrow{O{P}_{2}}-\overrightarrow{O{P}_{1}}）$=$（1-k）\overrightarrow{O{P}_{1}}+k\overrightarrow{O{P}_{2}}$；
∴μ=k；
又$\overrightarrow{{P}_{1}P}=（n-m，\frac{d}{2}（n-m））$，$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}=（k-m，\frac{d}{2}（k-m））$；
∴n-m=μ（k-m）；
∴$μ=\frac{n-m}{k-m}$．
故答案为：$\frac{n-m}{k-m}$．

点评 考查等差数列的通项公式和前n项和公式，对于等差数列a_n=a₁+（n-1）d，知道点（n，a_n）在直线y=a₁+（x-1）d上，共线向量基本定理和平面向量基本定理，以及向量坐标的减法运算和数乘运算．