Question

13．函数$y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}$的值域为（　　）

• A． $[{1，\sqrt{2}}]$
• B． [2，4]
• C． $[{\sqrt{2}，2}]$
• D． $[{1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 设2x=sinθ，利用三角函数化简y=$\sqrt{2}$（|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|），从而求值域．

解答 解：设2x=sinθ，
则$y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}$=$\sqrt{1+sinθ}$+$\sqrt{1-sinθ}$
=|sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$-cos$\frac{θ}{2}$|
=$\sqrt{2}$|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+$\sqrt{2}$|sin（$\frac{θ}{2}$-$\frac{π}{4}$）|
=$\sqrt{2}$（|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|）
∵1≤|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|≤$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$（|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|）≤2，
故选C．

点评 本题考查了三角函数的化简与值域的求法，关键在于换元．