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如图把函数f1(x)=x,f2(x)=x-
x3
6
f3(x)=x-
x3
6
+
x5
120
f4(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040
f5(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040
+
x9
362880
,依次称为f(x)=sinx在[0,π]上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数.以此类推,请将f(x)=sinx的n项多项式逼近函数fn(x)在横线上补充完整:fn(x)=
2n-1
k=1
 
sin(
2
)
xk
k!
sin(
2
)
xk
k!
) (n,k∈N+).
分析:由函数f(x)=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数,分析各项中符号,分子,分母的变化规律,归纳推理后可得f(x)=sinx的n项多项式逼近函数fn(x)的解析式
解答:解:由函数f(x)=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数
f1(x)=x
f2(x)=x-
x3
6

f3(x)=x-
x3
6
+
x5
120

f4(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040

f5(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040
+
x9
362880


可得函数的解析式中共有2n-1项,其中各项符号由sin(
2
)
确定;
分子为xk,分母为k!(k的阶乘)
故可归纳推理为:fn(x)=
2n-1
k=1
 
sin(
2
)
xk
k!

故答案为:sin(
2
)
xk
k!
(答案不唯一,也可为cos(
(k-1)π
2
)
xk
k!
(ik-1+(-i)k-1)
2
xk
k!
(i为虚数单位)等)
点评:本题考查的知识点是归纳推理,其中根据函数f(x)=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数,分析各项中符号,分子,分母的变化规律是解答的关键.
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