Question

19．已知集合M={x|x²-3x-18≤0]，N={x|1-a≤x≤2a+1}．
（1）若a=3，求M∩N和∁_RN；
（2）若M∩N=N，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=3时，先分别求出M、N，由此能求出M∩N和∁_RN．
（2）由M∩N=N，知N?M，由此根据N=∅和N≠∅两种情况分类讨论，能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵集合M={x|x²-3x-18≤0}，N={x|1-a≤x≤2a+1}．
∴a=3时，M={x|-3≤x≤6}，N={x|-2≤x≤7}，
∴M∩N={x|-2≤x≤6}，
∁_RN={x|x＜-2或x＞7}．
（2）∵M∩N=N，∴N?M，
∴当N=∅时，1-a＞2a+1，解得a＜0，成立；
当N≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥-3}\\{2a+1≤6}\\{1-a＜2a+1}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{5}{2}$．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集、子集定义的合理运用．