Question

设数列，，若以为系数的二次方程:都有根满足.

（1）求证：为等比数列

（2）求.

（3）求的前项和.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明过程详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题考查等差数列等比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.第一问，利用根与系数关系，得到两根之和、两根之积，代入到中，得到和的关系式，再用配凑法，凑出一个新的等比数列；第二问，利用第一问的结论，先求出新数列的通项公式，再求；第三问，用分组求和的方法，分别是等比数列和等差数列，直接用前n项和公式求和即可.

试题解析：（1）∵都有根满足，

∴，

∴，

∴，

∴

∴

∴，而，

∴是以为首项，以为公比的等比数列.

（2）∵，∴.

（3）

.

考点：1.根与系数的关系；2.配凑法求通项公式；3.分组求和；4.等差等比数列的前n项和公式.