Question

2．已知二次函数f（x）=x²+2ax+a-1，a为常数．
（1）设函数F（x）=f（x）-ax+1，若F（x）有唯一零点，求a的值．
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最小值g（a）的解析式；
（3）在（2）的条件下，是否存在最小的整数m，使得g（a）-m≤0对于任意的a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）F（x）=f（x）-ax+1=x²+ax+a=0，利用判别式=0，即可求a的值．
（2）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；
（3）若g（a）-m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求其最值可得答案．

解答 解：（1）F（x）=f（x）-ax+1=x²+ax+a=0，
∴△=a²-4a=0，
∴a=0或4；
（1）对称轴x=-a
①当-a≤-1⇒a≥1时，
f（x）在[-1，2]上是增函数，x=-1时有最小值f（-1）=-a；
②当-a≥2⇒a≤-2时，
f（x）在[-1，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3；
③当-1＜-a＜2⇒-2＜a＜1时，
f（x）在[-1，2]上是不单调，x=-a时有最小值f（-a）=-a²-a-1；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-a，a≥1}\\{-{a}^{2}-a-1，-2＜a＜1}\\{3a+3，a≤-2}\end{array}\right.$；
（2）存在，
由题知g（a）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]是增函数，在[-$\frac{1}{2}$，+∞）是减函数
∴a=-$\frac{1}{2}$时，g（a）max=-$\frac{3}{4}$，
∵g（a）-m≤0恒成立
∴g（a）_max≤m，
∴m≥-$\frac{3}{4}$，
∵m为整数，
∴m的最小值为0．

点评 本题考查的知识点是函数的恒成立问题，函数解析式的求法，考查分类讨论、转化思想，属于中档题．