Question

我们知道，直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面的问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：

2

x-y+

5

=0的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线l与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d₁、d₂，且直线l与椭圆M相切，试求d₁•d₂的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的相交、相离位置关系的充要条件（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式分别计算d₁、d₂，代入d₁•d₂化简，可以求出d₁•d₂的值，再通过直线L与椭圆方程消去y得到关于x的方程，可以求出根的差别式大于零，得到直线L与椭圆M有两个交点，是相交的位置关系；
（2）将直线方程与椭圆方程消去y，得到关于x的方程．再利用根的判别式可得△=0，从而p²=a²m²+b²n²，将其代入d₁•d₂的表达式化简可得d₁•d₂=b²；
（3）根据（2）运算得启发：直线L与椭圆M相交的充要条件为：d₁d₂＜b²；直线L与椭圆M相离的充要条件为：d₁d₂＞b²．

解答：解：（1）∵F₁（-4，0），F₂（4，0）到直线

2

x- y-+

5

=0的距离分别为d1=

|-4 2 + 5 |

3

，d2=

|4 2 + 5 |

3

∴d1•d2=

|-4 2 + 5 |

3

•

|4 2 + 5 |

3

=9

x2 25 + y2 9 =1 2 x-y+ 5 =0

∴59x2+50

10

x-100=0  ，△=(50

10

)2-4•59•(-100)＞0
∴直线l与椭圆C相交
（2）F₁（-c，0），F₂（c，0），直线l与椭圆M相切，点F₁、F₂在直线l的同侧d1•d2=

-mc+p

m2+n2

•

mc+p

m2+n2

=

p2-m2c2

m2+n2

=

p2-a2m2+b2m2

m2+n2

又

x2 a2 + y2 b2 =1 mx+ny+p=0

(b2+

a2m2

n2

)x2+

2a2mp

n

x+

a2p2

n2

-a2b2=0
∴△=0
∴p²=b²n²+a²m²
∴d1•d2=

p2-a2m2+b2m2

m2+n2

=b2
（3）设F₁、F₂是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d₁、d₂，且点F₁、F₂在直线l的同侧，那么，直线l与椭圆M相交的充要条件为：d₁•d₂＜b²；直线l与椭圆M相离的充要条件为：d₁•d₂＞b²；

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、类比推理以及圆锥曲线的综合应用等知识点，属于难题．本题对运算的要求相当高，解题中应注意设而不求和转化化归思想的运用．