Question

下列命题：
①动点M到两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1），则动点M的轨迹是圆；
②椭圆

x2

2b2

+

y2

b2

=1的离心率是

2

2

；
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离是b；
④已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且OA⊥OB（O是坐标原点），则y₁y₂=-p²．
其中正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：对于①，通过建立坐标系，求出动点的轨迹方程判断出①正确；对于②，利用椭圆中三个参数的关系判断出②正确；对于③，根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式判断出③正确；对于④，利用直线和抛物线的位置关系判断．

解答：解：对于①，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0），则有

(x+a)2+y2

(x-a)2+y2

=λ，
化简得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2a+2aλ²）x+a²-a²λ²=0，所以动点M的轨迹是圆，①正确；
对于②，e=

c

a

=

1- b2 2b2

=

2

2

，②正确；
对于③，双曲线（a＞b＞0）的焦点坐标为（±c，0），渐近线的方程为：y=±x，根据点到直线的距离公式得到距离d═b．所以③正确；
对于④，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，则

(y1y2)2

4p2

+y1y2=0，解得y₁y₂=-4p²，所以④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查利用曲线的方程判断曲线的形状；考查椭圆中三个参数的关系；考查双曲线中渐近线的方程，属于一道综合题．