Question

（2012•长宁区一模）设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），即 x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由＜0求得t的取值范围．
（3）由f（1）=

3

2

求得a的值，可得 g（x）的解析式，令t=f（x）=2^x-2^-x，可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t²-2mt+2，（t≥

3

2

），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．

解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）
∴1-（k-1）=0，∴k=2．…（4分）
（2）∵函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-

1

a

＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．…（6分）
由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4）．
∴x²+tx＞x-4，即  x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．…（10分）
（3）∵f（1）=

3

2

，a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，∴a=2，或 a=-

1

2

（舍去）．…（12分）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知k=2，故f（x）=2^x-2^-x ，显然是增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

）…（15分）
若m≥

3

2

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2…（16分）
若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去…（17分）
综上可知m=2．…（18分）

点评：本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．