Question

15．已知函数 f（x）=e^x-1-ex．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）设a∈R，求函数f（x）在区间[a，a+1]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出g（a）的表达式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-1-ex，
∴f′（x）=e^x-1-e，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在（-∞，2）递减，在（2，+∞）递增；
（2）a≥2时，f（x）在[a，a+1]递增，
∴g（a）=f（x）_最小值=f（a）=e^a-1-ea，
a+1≤2，即a≤1时，f（x）在[a，a+1]递减，
∴g（a）=f（x）_最小值=f（a+1）=e^a-e（a+1），
a＜2＜a+1时，f（x）在[a，2）递减，在（2，a+1]递增，
∴g（a）=f（x）_最小值=f（2）=-e，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a-1}-ea，a≥2}\\{-e，1＜a＜2}\\{{e}^{a}-e（a+1），a≤1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道基础题．