Question

已知函数f(x)=在x=1处取得极值为2.

（1）求函数 f(x)的解析式；

（2）若函数f(x)在区间（m,2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；

（3）若P（x₀,y₀）为f(x)=图象上的任意一点，直线l与f(x)=的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.

Answer 1

解:（1）已知函数f(x)= ,

∴f′(x)=.

又函数f(x)在x=1处取得极值2，

∴f′(1)=

∴f(x)=.

（2）∵f′(x)=

由f′(x)＞0，得4-4x²＞0,即-1＜x＜1.

所以f(x)=的单调增区间是为（-1，1）.

因函数f(x)在（m,2m+1）上单调递增，则有

解得-1＜m≤0,即m∈(-1,0)时，函数f(x)在（m,2m+1）上为增函数.

（3）∵f(x)= ,∴f′(x)= 直线l的斜率为

k=f′(x₀)=

=4［］.

令=t,t∈(0,1)，则直线l的斜率k=4(2t²-t),t∈(0,1).

∴k∈［-,4］,即直线l的斜率k的取值范围是［-,4］.