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如图甲,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图乙所示(点D记为点P),点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB.
(Ⅰ)求直线PC与平面PAB所成的角的大小;
(Ⅱ)求二面角P-AC-B的大小的余弦值。
解法一:(Ⅰ)在图甲中,


∵AD=CD,
为等边三角形,
∴AD=CD=AC=2,
在图乙中, 
∵点E为点P在平面ABC上的正投影,∴PE⊥平面ABC,
∵BC平面ABC,
∴PE⊥BC,
∵∠CBA= 90°,
∴BC⊥AB,
∵PE∩AB=E,PE平面PAB,AB平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角,
在Rt△CBP中,BC=l,PC=DC=2,
∴sin∠CPB=
∵0°<∠CPB<90°,∴∠CPB=30°,
∴直线PC与平面PAB所成的角为30°。
 (Ⅱ)取AC的中点F,连接PF,EF,
∵PA=PC,
∴PF⊥AC,
∵PE⊥平面ABC,AC平面ABC,
∴PE⊥AC,
∵PF∩PE=P,PF平面PEF,PE平面PEF,
∴AC⊥平面PEF,
∵EF平面PEF,
∴EF⊥AC,
∴∠PFE为二面角P-AC-B的平面角.
中,

中,
∴二面角P-AC-B的大小的余弦值为




解法二:在图甲中,

,∠DAC=60°,
∵AD=CD,
∴△DAC为等边三角形,
∴AD=CD=AC=2,
在图乙中,
∵点E为点P在平面ABC上的射影,
∴PE⊥平面ABC,
∵BC平面ABC,
∴PE⊥BC,
∵∠CBA=90°,
∴BC⊥AB,
∵PE∩AB=E,PE平面PAB,AB平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,
连接EC,在Rt△PEA和Rt△PEC中,PA=PC=2,PE=PE,
∴Rt△PEA≌Rt△PEC,∴EA=EC,
∴∠ECA=∠EAC=30°,∴∠CEB=60°,
中,

中,
以点E为原点,EB所在直线为x轴,与BC平行的直线为y轴,
EP 所在直线为z轴,
建立空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),



(Ⅰ)∵

 ∴直线PC与平面PAB所成的角为30°。
(Ⅱ)设平面PAC的法向量为
,得
令x=1,得
为平面PAC的一个法向量,
为平面PAB的一个法向量,

∵二面角P-AC-B的平面角为锐角,
∴二面角P- AC -B的平面角的余弦值为






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