Question

设0＜θ＜，曲线x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1有4个不同的交点．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）联立方程，组成方程组，有4个不同交点等价于x²＞0，且y²＞0，即可求θ的取值范围；
（Ⅱ）确定圆的圆心在原点，半径为，从而可求圆半径的取值范围．
解答：（I）解：两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组即
有4个不同交点等价于x²＞0，且y²＞0，即
又因为，所以得θ的取值范围为（0，．
（II）证明：由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程，
即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为．
因为cosθ在上是减函数，所以由，
知r的取值范围是．
点评：本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．