Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线l：x=9于G点，直线MB交直线l于H点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，∴，∴b²=a²-c²=8．
∴椭圆C的方程为：．…（4分）
（2）记直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，设M，A，B的坐标分别为M（x₀，y₀），A（-3，0），B（3，0），
∴，，∴．
∵P在椭圆上，∴，∴，∴k₁•k₂=，
设G（9，y₁）H（9，y₂），则，．
∴，又k₁•k₂=．∴，∴y₁y₂=-64．…（8分）
因为GH的中点为，|GH|=|y₁-y₂|，
所以，以GH为直径的圆的方程为：．
令y=0，得（x-9）²=-y₁y₂=64，
∴x=1，x=17，将两点（17，0），（1，0）代入检验恒成立．
所以，以GH为直径的圆恒过x轴上的定点（17，0），（1，0）．…（12分）
分析：（1）根据椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，建立方程组，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）记直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，设M，A，B的坐标分别为M（x₀，y₀），确定k₁•k₂=，进一步确定以GH为直径的圆的方程，令y=0，可得定点的坐标．
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查圆的方程的确定，综合性强，属于中档题．