Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（3-x），且(

3

2

-x)f′(x)＜0，已知x₁＜x₂，x₁+x₂＜3，则（　　）

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）＞f（x₂）

C．f（x₁）+f（x₂）＜0

D．f（x₁）+f（x₂）＞0

Answer 1

分析：由(

3

2

-x)f′(x)＜0可判断f（x）的单调性，由x₁＜x₂，x₁+x₂＜3可分x₁＜x₂＜

3

2

及x₁＜

3

2

＜x₂两种情况进行讨论，借助单调性可作出判断．

解答：解：由(

3

2

-x)f′(x)＜0得，
当x＜

3

2

时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞

3

2

时，f′（x）＞0，f（x）递增；
因为x₁＜x₂，x₁+x₂＜3，
所以x₁＜x₂＜

3

2

时，f（x）递减，f（x₁）＞f（x₂）；
当x₁＜

3

2

＜x₂时，3-x₁＞

3

2

，且3-x₁＞x₂，f（x）在（

3

2

，+∞）上递增，
所以f（3-x₁）=f（x₁）＞f（x₂）；
综上，f（x₁）＞f（x₂），
故选B．

点评：本题考查函数的单调性及其应用，考查导数与单调性的关系，考查学生推理论证能力．