Question

如图，在正三棱锥A-BCD中，M、N分别是AD、CD的中点，BM⊥MN，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  3

• C．

  3

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：先证明AC⊥面BMD，进而可得AC⊥AD，连接AN，BN，则BN⊥CD，AN⊥CD，故∠ANB为正三棱锥的侧面与底面所成角，从而可求其正切值．

解答：解：设点A在面BCD内的射影为A′
∵三棱锥A-BCD为正三棱锥
∴AB=AD，△BCD为正三角形，A′为△BCD中心
∴CD⊥BA′，∵AA′⊥面BCD
∴CD⊥AB，
∵M、N分别是AD、CD的中点
∴MN∥AC，
∵BM⊥MN，
∴AC⊥BM
又∵BD⊥平面ACA'，BD?平面ACA'
∴AC⊥BD，
∵BD∩BM=B
∴AC⊥面BMD，
∵AD?面BMD
∴AC⊥AD
连接AN，BN，则BN⊥CD，AN⊥CD
∴∠ANB为正三棱锥的侧面与底面所成角
设CD=2a，则BN=

3

a，AN=a，AB=

2

a
∴∠BAN=90°
在△ABN中，tan∠ANB=

2 a

a

=

2

故选D．

点评：本题考查了正三棱锥的性质，二面角的求法和面面垂直的性质，解题时要有空间想象力，要能恰当的沟通未知量之间的关系，能够用转化的思想方法将空间问题化为平面问题