Question

设a＞2，给定数列{a_n}，a1=a，an+1an=an+1+

1

2

a

2 n

(n∈N*)
（1）求证：a_n＞2；
（2）求证：数列{a_n}是单调递减数列．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出a_n+1=

an2

2(an-1)

．利用数学归纳法证明．
（2）可利用作差比较、作商比较法证明．

解答：证明：（1）由an+1an=an+1+

1

2

a

n 2

(n∈N*)得a_n+1=

an2

2(an-1)

用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=a＞2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k＞2．
则当n=k+1时，a_k+1-2=

ak2-4ak+4

2(ak-1)

=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，即a_k+1＞2
由①②可知a_n＞2成立．
（2）证法一：
a_n+1-a_n=

an2

2(an-1)

-an=

an(2- an )

2(an-1)

＜0，
由（1）a_n＞2，∴a_n+1＜a_n，
∴数列{a_n}单调递减．
证法二：
由（1）a_n＞2，

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

1

2(1- 1 an )

＜

1

2(1- 1 2 )

=1，
∴a_n+1＜a_n，
∴数列{a_n}单调递减．

点评：本题考查数列的函数性质，不等式的证明．考查转化、推理、论证能力．