Question

如图1，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD的中点，G是EF上的一点。将△GAB、△GCB分别沿AB、CD翻折成△G₁AB、△G₂CD，并连结G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD，连结BG₂，如图2，
（Ⅰ）证明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（Ⅱ）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG₂和平面G₁ADG₂所成的角。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为平面G1AB⊥平面ABCD， 平面G1AB∩平面ABCD=AB， AD⊥AB，AD平面ABCD， 所以AD⊥平面G1AB， 又AD平面G1ADG2， 所以平面G1AB⊥平面G1ADG2。
（Ⅱ）解：过点B作BH⊥AG1于点H，连结G2H， 由（Ⅰ）的结论可知，BH⊥平面G1ADG2， 所以∠BG1H是BG2和平面G1ADG2所成的角， 因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB∩平面ABCD=AB， G1E=AB，G1E平面G1AB， 所以G1E⊥平面ABCD， 故G1E⊥EF， 因为G1G2＜AD，AD=EF， 所以可在EF上取一点O，使EO=G1G2， 又因为G1G2∥AD∥EO， 所以四边形G1EOG2是矩形， 由题设AB=12，BC=25，EG=8，则GF=17， 所以G2O=G1E=8，G2F=17， OF=， 因为AD⊥平面G1AB，G1G2∥AD， 所以G1G2⊥平面G1AB， 从而G1G2⊥G1B， 故BG=BE2+EG+G1G=62+82+102=200， BG2=， 又AG1=， 由， 故， 即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是。