Question

若（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ（n∈N^*）展开式中前三项系数成等差数列，
（1）求展开式中第4项的系数和二项式系数；
（2）求展开式中的所有有理项．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得n的值，再利用二项展开式的通项公式T_r+1=

C

r n

•2^-r•x

n

2

-

3

4

r即可求得展开式中第4项的系数和二项式系数；
（2）由其通项T_r+1=

C

r 8

•2^-r•x4-

3

4

r（0≤r≤8）中，令4-

3

4

r为整数，即可求得相应的有理项．

解答：解：（1）∵（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ（n∈N^*）展开式的通项公式T_r+1=

C

r n

•2^-r•x

n

2

-

3

4

r，
∴前三项系数分别为：1，

n

2

，

n(n-1)

8

，
∵1，

n

2

，

n(n-1)

8

成等差数列，
∴n=1+

n(n-1)

8

，
解的n=8或n=1（舍去），
∴展开式中第4项的系数为

C

3 8

•2^-3=56×

1

8

=7，展开式中第4项的二项式系数为

C

3 8

=

8×7×6

3×2×1

=56；
（2）∵n=8，
∴T_r+1=

C

r 8

•2^-r•x4-

3

4

r（0≤r≤8），
当r=0，4，8，时，4-

3

4

r为整数，
∴展开式中的所有有理项为：T₁=x⁴；
T₅=

C

4 8

•2^-4•x=

35

8

x；T₉=2^-8x^-2=

1

256x2

．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查等差数列的性质，考查方程思想与综合运算能力，属于中档题．