Question

如图，已知圆C的方程为：x²+y²+x-6y+m=0，直线l的方程为：x+2y-3=0．
（1）求m的取值范围；
（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程化为标准方程：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

37

4

-m，若为圆，须有

37

4

-m＞0，解出即可；
（2）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即k_OP•k_OQ=-1，亦即x₁x₂+y₁y₂=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y₁、y₂的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可；

解答：解：（1）将圆的方程化为标准方程为：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

37

4

-m，
依题意得：

37

4

-m＞0，即m＜

37

4

，
故m的取值范围为（-∞，

37

4

）；
（2）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则k_OP•k_OQ=-1，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
又因为x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
所以（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0①，
将直线l的方程：x=3-2y代入圆的方程得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y1y2=

12+m

5

，
代入①式得：5×

12+m

5

-6×4+9=0，解得m=3，
故实数m的值为3．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，属中档题，解决本题（2）问的关键是正确理解“以PQ为直径的圆恰过坐标原点”的含义并准确转化．