Question

如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）求证：EM∥平面ABC；
（2）求出该几何体的体积；
（3）试问在平面ACDE上是否存在点N，使MN⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：取BC的中点G，连EM，MG，AG
∵M为DB中点，∴MG∥DC且MG=DC
∴MG平行且等于AE，∴AGME为平行四边形，∴EM∥AG
又EM?平面ABC，AG?平面ABC，∴EM∥平面ABC …（4分）
（2）解：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩EA=A，∴AB⊥平面ACDE
∴几何体B-ACDE的高h=AB=2，又S_梯形ACDE=6
∴V_B-ACDE=Sh=4 …（8分）
（3）解：如图建立空间坐标系A-xyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，4），M（1，1，2），设 N（0，y，z），，，…（9分）
∵MN⊥平面BDE，∴，∴，∴…（11分）
∴在平面ACDE上是存在点N（0，2，1），使MN⊥平面BDE …（12分）
分析：（1）取BC的中点G，利用三角形中位线的性质，可得AGME为平行四边形，从而可得EM∥AG，利用线面平行的判定，可得EM∥平面ABC；
（2）证明AB⊥平面ACDE，可得几何体B-ACDE的高h=AB=2，从而可求V_B-ACDE；
（3）利用MN⊥平面BDE，可得，从而可求存在点N，使MN⊥平面BDE．
点评：本题考查线面平行，考查几何体的体积计算，考查线面垂直，考查空间向量的运用，掌握线面平行的判定，正确运用空间向量是解题的关键．