Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+．
（1）设b_n=，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）由已知得b₁=a₁=1，且=+，
即b_n+1=b_n+，从而b₂=b₁+，
b₃=b₂+，
b_n=b_n-1+（n≥2）．
于是b_n=b₁+++…+=2-（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通项公式为b_n=2-．
（2）由（1）知a_n=2n-，
故S_n=（2+4++2n）-（1++++…+），
设T_n=1++++…+，①
T_n=+++…++，②
①-②得，
T_n=1++++…+-
=-=2--，
∴T_n=4-．
∴S_n=n（n+1）+-4．
分析：（1）由已知得=+，即b_n+1=b_n+，由此能够推导出所求的通项公式．
（2）由题设知a_n=2n-，故S_n=（2+4+…+2n）-（1++++…+），设T_n=1++++…+，由错位相减法能求出T_n=4-．从而导出数列{a_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．