Question

4．如图所示，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．过点A₁，D₁，E的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个四边形．
（Ⅰ）请在图中作出此四边形（简要说明画法）；
（Ⅱ）证明AE⊥平面α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CC₁中点F，连结A₁E，EF，FD₁，则四边形A₁EFD₁即为所求四边形．
（Ⅱ）推导出A₁E⊥AE，AE⊥A₁D₁，由此能证明AE⊥平面α．

解答 解：（Ⅰ）取CC₁中点F，连结A₁E，EF，FD₁，
则四边形A₁EFD₁即为所求四边形．（其它做法请酌情给分）…（4分）
证明：（Ⅱ）∵E为BB₁中点，∴B₁E=BE=1，A₁E=AE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵AA₁=2，∴$A{{A}_{1}}^{2}$=${A}_{1}{E}^{2}+A{E}^{2}$，
∴A₁E⊥AE，…（6分）
又∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，AE?平面ABB₁A₁
∴AE⊥A₁D₁，…（8分）
又∵A₁E?平面A₁EFD₁，A₁D₁?平面A₁EFD₁，A₁E∩A₁D₁=A₁，
∴AE⊥平面A₁EFD₁，∴AE⊥平面α．…（12分）

点评 本题考查图形有画法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．