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    （2012•蓝山县模拟）某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα=
    2
    5
    ．现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n-1段依次为
    C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn-1Cn（如图所示），且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn-1Cn与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ=
    1
    4
    ．试问：
    （1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
    （2）若修建xkm盘山公路，其造价为
    		x2+100
     a万元．修建索道的造价为2
    		2
    a万元/km．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．
    分析：（1）在盘山公路上取一个点，作出该点到平面的垂线，再利用三垂线定理作出二面角棱的垂线，连接两个垂足，利用三角函数的定义可求出索道长与山高的倍数关系，得出结论；
    （2）设盘山公路修至山高的距离为x，建立关于x的函数，利用导数确定函数的单调性，极小值即为函数的最小值，从而得出最少总价对应的x．
    解答：解：（1）在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连接DF，易知DF⊥C0F．sin∠DFE=
    2
    5
    ，sin∠DC0F=
    1
    4
    ．
    ∵DF=
    1
    4
    C0D，DE=
    2
    5
    DF，∴DE=
    1
    10
    C0D，
    所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的
    5
    2
    倍，
    所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米．
    从山脚至半山腰，盘山公路为10km．从半山腰至山顶，索道长2.5km．（6分）
    （2）设盘山公路修至山高x（0＜x＜2）km，则盘山公路长为10xkm，索道长
    5
    2
    （2-x）km．
    设总造价为y万元，
    则y=
    		(10x)2+100
    a+
    5
    2
    （2-x）•2
    		2
    a=（10
    		x2+1
    -5
    		2
    x）a+10
    		2
    a．
    令y′=
    10ax
    		x2+1
    -5
    		2
    a=0，则x=1．
    当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈（1，2）时，y′＞0，函数y单调递增，
    ∴x=1，y有最小值，即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为15
    		2
    a万元．（13分）
    点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是构建函数，利用导数知识求解．
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