Question

已知双曲线x²-

y2

2

=1，过点P（2，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），得到2x₁²-y₁²=2 ①，2x₂²-y₂²=2 ②然后，①-②并结合有关中点坐标公式求解．

解答： 解：设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则2x₁²-y₁²=2 ①
2x₂²-y₂²=2 ②
①-②得
2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
2×2x₀-2y₀

y1-y2

x1-x2

=0，
∴8-2k=0，
∴k=4，
∴y-1=4（x-4），
∴直线l的方程为4x-y-15=0，
故答案为：4x-y-15=0．

点评：本题重点考查了直线与双曲线的位置关系、中点弦问题等知识，处理中点弦问题时，常常采用“点差法”进行处理．