Question

一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E、F分别为AA₁和B₁C₁的中点．

（Ⅰ）求几何体ABC-A₁B₁C₁的体积；
（Ⅱ）证明：A₁F∥平面EBC₁；
（Ⅲ）证明：平面EBC⊥平面EB₁C₁．

Answer 1

（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题可知，三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，
且底面△ABC是直角三角形，AB⊥BC，，…（2分）
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．…（4分）
（Ⅱ）证明：取BC₁的中点M，连EM，FM，…（5分）∵E、F分别为AA₁和B₁C₁的中点，∴，，，…（12分）∴四边形MFA₁E为平行四边形，∴A₁F∥EM，…（7分）
又EM?平面EBC₁，A₁F?平面EBC₁，∴A₁F∥平面EBC₁． …（9分）
（Ⅲ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，∴BE²=AB²+AE²=2，∴B₁E²=A₁B₁²+A₁E²=2，又BB₁=2，∴BE²+B₁E²=BB₁²，∴BE⊥B₁E…（10分）
又平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥BE…（12分）
由BE⊥B₁E，B₁C₁⊥BE，B₁E∩B₁C₁=B₁，得BE⊥平面EB₁C₁，
又BE?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB₁C₁． …（14分）
分析：（Ⅰ）求出几何体ABC-A₁B₁C₁的高和底面面积，即可求出几何体的体积；
（Ⅱ）取BC₁的中点M，连EM，FM，证明A₁F∥EM，说明EM?平面EBC₁，A₁F?平面EBC₁，即可证明A₁F∥平面EBC₁；
（Ⅲ）证明BE⊥B₁E，B₁C₁⊥BE，B₁E∩B₁C₁=B₁，即可证明平面EBC⊥平面EB₁C₁．
点评：本题是中档题，考查空间几何体的体积，直线与平面的平行，平面与平面的垂直，考查基本定理的应用，考查计算能力，空间想象能力．