Question

19．关于函数f（x）=-cos²x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{3}{2}$，有下面四个结论，其中正确结论的是（　　）

• A． f（x）是奇函数
• B． f（x）是增函数
• C． 当x＞2015时，f（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立
• D． f（x）的最小值是-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意：y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，A不正确．根据余弦函数的单调性，可知B不正确；对于C，取特殊值当x=1000π时，验证即可；对于D，f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，cos2x，（$\frac{2}{3}$）^|x|在x=0时同时取得最大值，可得结论．

解答 解：f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，
y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，A不正确．
根据余弦函数的单调性，可知B不正确；
对于C，取特殊值当x=1000π时，x＞2015，$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$，且（$\frac{1}{2}$）^1000π＞0
∴f（1000π）=$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）^1000π＜$\frac{1}{2}$，因此结论错．
对于D，f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，cos2x，（$\frac{2}{3}$）^|x|在x=0时同时取得最大值，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$，在x=0时可取得最小值-$\frac{1}{2}$，即结论是正确的．
故选：D．

点评 此题涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，利用不等式的放缩求新函数的范围．此题考查了函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断．