Question

18．函数f（x）=$\frac{x-a}{lnx}$的图象总在函数F（x）=$\sqrt{x}$的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）＞F（x）恒成立，即$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．分类讨论，利用分离参数法，即可求a的取值范围．

解答 解：函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）＞F（x）恒成立，
即$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
①当0＜x＜1时，lnx＜0，则$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$等价于a＞x-$\sqrt{x}$lnx，
令g（x）=x-$\sqrt{x}$lnx，g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-2-lnx}{2\sqrt{x}}$，
再令h（x）=2$\sqrt{x}$-2-lnx，h′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{x}$
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上递减，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-2-lnx}{2\sqrt{x}}$＞0，
所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）＜g（1）=1，∴a≥1；
②当x＞1时，lnx＞0，则$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$等价于a＜x-$\sqrt{x}$lnx，等价于a＜g（x），
由①知，当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上递增，
∴当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-2-lnx}{2\sqrt{x}}$＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上递增，∴g（x）＞g（1）=1，
∴a≤1．
由①及②得：a=1，
故所求a的取值范围是{1}．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．