Question

（2012•东城区二模）已知函数f(x)=-

1

2

x2+2x-aex．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出f（1）及f^′（1），利用直线方程的点斜式求出切线方程；
（Ⅱ）由函数若f（x）在R上是增函数，则其导函数在（-∞，+∞）大于等于0恒成立，把参数a分离后利用导数求不等式一边的最值，则a的范围可求．

解答：解：（Ⅰ）由a=1，则f(x)=-

1

2

x2+2x-ex，
则f(1)=

3

2

-e，
所以f'（x）=-x+2-e^x．
则f'（1）=1-e，
所以所求切线方程为y-(

3

2

-e)=(1-e)(x-1)，即2（1-e）x-2y+1=0．
（Ⅱ）由已知f(x)=-

1

2

x2+2x-aex，得f'（x）=-x+2-ae^x．
因为函数f（x）在R上是增函数，
所以f'（x）≥0在实数集上恒成立，即不等式-x+2-ae^x≥0恒成立．
整理得a≤

-x+2

ex

．
令g(x)=

-x+2

ex

，g′(x)=

x-3

ex

．
因为e^x＞0，
所以x，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，3）	3	（3，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）		极小值

由此表看出当x=3时函数g（x）有极小值，也就是最小值．
所以a≤g（3）=-e^-3，即a的取值范围是（-∞，-e^-3]．

点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了分离变量法求参数的取值范围，是中档题．