Question

已知f（x）=-sinωxcosωx+

3

cos²ωx-

3

2

的周期为2π
（I）求f（x）的最大值以及取最大值时x的集合
（II）已知f（α）=

1

3

，且α∈（0，

π

2

），求cos（

5π

6

+2α）

Answer 1

分析：（I）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由已知的周期，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）的解析式，由正弦函数的值域即可得出f（x）的最大值，以及取最大值时x的集合；
（II）由第一问确定的函数解析式及f（α）=

1

3

，根据α的范围求出这个角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+

2π

3

）的值，利用二倍角的正弦函数公式求出sin（2α+

4π

3

），把所求式子中的角变形并利用诱导公式化简，将sin（2α+

4π

3

）的值代入即可求出值．

解答：解：（I）f（x）=-

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

2π

3

），
∵T=

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

，
∴f（x）=sin（x+

2π

3

），
∴f（x）的最大值为1，
∵此时x+

2π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=2kπ-

π

6

，k∈Z，
则取最大值时x的集合为{x|x=2kπ-

π

6

，k∈Z}；
（II）f（α）=sin（α+

2π

3

）=

1

3

，
∵α∈（0，

π

2

），∴α+

2π

3

∈（

2π

3

，π），
∴cos（α+

2π

3

）=-

2 2

3

，
∴sin（2α+

4π

3

）=2sin（α+

2π

3

）cos（α+

2π

3

）=-

4 2

9

，
则cos（2α+

5π

6

）=cos（2α+

4π

3

-

π

2

）=cos[

π

2

-（2α+

4π

3

）]=sin（2α+

4π

3

）=-

4 2

9

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．