Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)若AN的长度不少于3米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.

Answer 1

解：设AN的长为x米(x＞2)，矩形AMPN的面积为S,

∵，∴|AM|=.

∴S=|AN|·|AM|=.                                                    

(1)由S＞32,得＞32，∵x＞2，

∴3x²-32x+64＞0，即(3x-8)(x-8)＞0.

∴2＜x＜或x＞8,

即AN长的取值范围是(2,)∪(8,+∞).                                        

(2)S=,则S′=.                              

∴当x＞4时,S′＞0,即函数S=在(4,+∞)上单调递增.

∴函数S=在[6,+∞]上也单调递增.                                      

∴当x=6时,S=取得最小值,即S取得最小值27(平方米).

此时|AN|=6米，|AM|=4.5米.