Question

如图ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：DE⊥面PBC；
（2）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD得DE⊥BC，DE⊥PC．由线面垂直的判定定理得DE⊥平面PBC．
（2）由PB⊥FD．结合EF⊥PB，由二面的定义可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解三角形EFD即可得到答案．

解答：证明：（1）∵PD⊥面ABCD，BC?面ABCD
∴PD⊥BC，
又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，PD，DC?面PDC
∴BC⊥面PDC
又∵ED?面PDC
∴BC⊥DE，
又∵PD=DC，E是PC的中点
∴DE⊥PC
又∵BC∩PC=C，BC，PC?面PBC
∴DE⊥面PBC
（2）作EF⊥PB于F，连DF，
∵DE⊥面PBC，PB?面PBC
∴DF⊥PB
所以∠EFD是二面角的平面角
∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2

2

，DE=

1

2

PC=

2

∵PD⊥DB，
∴PB=

PD2+DB2

=2

3

DF=

PD•DB

PB

=

2 6

3

由（1）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．
∵EF?平面PBC，∴DE⊥EF．
在Rt△DEF中，sin∠EFD=

DE

DF

=

3

2

∴∠EFD=60°．故所求二面角C-PB-D的大小为60°．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中几何法的关键是熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定、性质及几何特征，建立良好的空间想像能力，几何法的关键是建立适当的空间坐标系，将空间线面关系及线面夹角问题转化为向量夹角问题．