Question

（21）设a为实数，函数f（x）＝x²＋|x－a|＋1，x∈R.

（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）求f（x）的最小值.

Answer 1

（21）本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.

解：

（Ⅰ）当a＝0时，函数f（－x）＝（－x）²＋|－x|＋1＝f（x），此时f（x）为偶函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当a≠0时，f（a）＝a²＋1，f（－a）＝a²＋2|a|＋1，f（－a）≠f（a）,f（－a）≠－f（a）.

此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.　　　　　　　　

 

（Ⅱ）（i）当x≤a时，函数f（x）＝x²－x＋a＋1＝（x－）²＋a＋.

若a≤，则函数f（x）在（－∞，a]上单调递减，从而，函数

f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（a）＝a²＋1.

若a＞，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为

f（）＝＋a，且f（）≤f（a）.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（ⅱ）当x≥a时，函数f（x）＝x²＋x－a＋1＝（x＋）²－a＋.

 

若a≤－，则函数f（x）在［a，＋∞）上的最小值为f（－）＝－a，且f（－）≤f（a）.

若a＞－，则函数f（x）在［a，＋∞）上单调递增，从而，函数f（x）在［a，＋∞）上的

最小值为f（a）＝a²＋1.　　　　　　

综上，当a≤－时，函数f（x）的最小值是－a.

 

当－＜a≤时，函数f（x）的最小值是a²＋1.

 

当a＞时，函数f（x）的最小值是a＋.