Question

已知x∈R设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数并且f（x）-g（x）=x²-x³
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）-g（x）=x²-x³ ①，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，可得f（-x）-g（-x）=-f（x）-g（x）=x²+x³ ②．由①、②解得f（x）的解析式．
（2）设x₁＜x₂，化简 f（x₁）-f（x₂）为 （x₁-x₂）（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]，小于零，可得 f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）是R上的减函数．

解答：解：（1）∵f（x）-g（x）=x²-x³ ①，因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
所以，f（-x）-g（-x）=-f（x）-g（x）=x²+x³  ②．
由①、②解得f（x）=-x³．
（2）f（x）是单调减函数．
证明：设x₁＜x₂，则 f（x₁）-f（x₂）=-x13-（-x23 ）=-（x₁-x₂）（x12+x₁•x₂+x22 ）=-（x₁-x₂）（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]，
再由题设可得，（x₁-x₂）＜0，（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]＞0，∴-（x₁-x₂）（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]＞0，
即  f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在R上是减函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的解析式，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．