Question

若函数f(x)=x2+

a

x

 (a∈R)，则下列结论正确的是（　　）
①?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数    ②?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数
③?a∈R，f（x）是偶函数               ④?a∈R，f（x）是奇函数．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：对函数f（x）求导，利用f′（x）判定f（x）在（0，+∞）上的增减性，从而判定①、②是否正确；由奇偶性的定义判定③、④是否正确；

解答：解：∵函数f(x)=x2+

a

x

 (a∈R)，
∴f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

，显然x∈（0，+∞）时，对任意的a∈R，2x³-a≥0不恒成立，即f′（x）≥0不恒成立，f（x）在（0，+∞）上不恒为增函数，①不正确；
也不存在a∈R，使2x³-a≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，即f′（x）≤0不恒成立，∴②不正确；
当a=0时，f（x）=x²是R上的偶函数，∴③正确；
∵f（-x）+f（x）=（-x）²+

a

-x

+x²+

a

x

=2x²∴不存在a∈R，使f（x）是奇函数，∴④不正确；
综上，正确的结论只有一个；
故选：B．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定问题，是基础题中的易错题．