Question

过椭圆

x2

3

+

y2

2

=1的右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．
（1）证明：直线MN必过定点，并求此定点；
（2）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN的面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知F（1，0），当弦AB，CD的斜率均存在时，设AB：y=k（x-1），代入椭圆

x2

3

+

y2

2

=1，
得（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0，由韦达定理得M（

3k2

3k2+2

，

-2k

3k2+2

），将点M中的k换成-

1

k

，得到点N（

3

2k2+3

，

2k

2k2+3

），由此得直线MN过定点（

3

5

，0）；当弦AB或弦CD的斜率不存在时，直线MN为x轴，过点（

3

5

，0），由此能证明直线MN必过定点E（

3

5

，0）．
（2）由（1）知S△FMN=

1

2

|EF|•|yM-yN|=

|2k(k21)|

(3k2+2)(2k2+3)

，由此利用导数性质能求出△FMN的面积的最大值为

4

25

．

解答： （1）证明：由题意知F（1，0），
①当弦AB，CD的斜率均存在时，设AB的斜率为k，则CD的斜率为-

1

k

，
设AB：y=k（x-1），代入椭圆

x2

3

+

y2

2

=1，
得（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0，
∴xM=

xA+xB

2

=

3k2

3k2+2

，y_M=k（x_M-1）=

-2k

3k2+2

，
∴M（

3k2

3k2+2

，

-2k

3k2+2

），
将点M中的k换成-

1

k

，得到点N（

3

2k2+3

，

2k

2k2+3

），
（i）当k≠±1时，kMN=

2k 2k2+3 + 2k 3k2+2

3-3k2

=

10k(k2+1)

6-6k4

=

-5k

3k2-3

，
此时直线MN的方程为y=

2k

2k2+3

=

-5k

3k2-3

（x-

3

2k2+3

），
则直线MN过定点（

3

5

，0）；
（ii）当k=±1时，直线MN的方程为x=

3

5

，过点（

3

5

，0）．
②当弦AB或弦CD的斜率不存在时，直线MN为x轴，过点（

3

5

，0），
综上知直线MN必过定点E（

3

5

，0）．
（2）由（1）知S△FMN=

1

2

|EF|•|yM-yN|
=

1

5

|

-2k

3k2+2

-

2k

2k2+3

|
=

|2k(k21)|

(3k2+2)(2k2+3)

，
设k＞0，则S′=

-12k6-10k4+10k2+12

(3k2+2)2(2k2+3)2

=

(-12k4+2k2-12)(k2-1)

(3k2+2)2(2k2+3)2

，
∴由S′=0，得k=1，又k∈（0，1）时，S′＞0，k∈（1，+∞）时，S′＜0，
∴当k=1时，S有最大值

4

25

，
∴△FMN的面积的最大值为

4

25

．

点评：本题考查直线过定点的证明，考查定点坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要注意导数性质的合理运用．