Question

17、定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）为奇函数．

Answer 1

分析：欲证f（x）为奇函数，即证f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，利用题中条件：“f（x+y）=f（x）+f（y），”使用赋值法：分别令x=y=0，得到f（0）的值；令y=-x结合f（0）即可得到f（-x）=-f（x），从而问题解决．

解答：证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的性质、抽象函数的奇偶性．函数虽然抽象，但我们必须掌握其基本方法，结合定义，使用赋值法．