Question

（2009•昆明模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，

MF

=λ

FB

，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差数列，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）先确定p=λ（x₂-

p

2

），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；
（II）直线方程代入抛物线方程，求得A₁、B₁的横坐标，根据|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差数列，可得|

B1F

|+2|

A1F

|=2|

OF

|，从而可得x₂-2x₁=

p

2

，由此可求λ的值．

解答：解：依题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y₀，
则F（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

，直线l的方程为y=k（x-

p

2

），M（-

p

2

，y₀），y₂＞0
因为

MF

=λ

FB

，所以（p，-y₀）=λ（x₂-

p

2

，y₀），故p=λ（x₂-

p

2

）
（I）若λ=1，由p=λ（x₂-

p

2

），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=

3p

2

，y₂=

3

p，
故点B的坐标为（

3p

2

，

3

p）
所以直线l的斜率k=

3 p-0

3p 2 - p 2

=

3

   （5分）
（II）联立y²=2px，y=k（x-

p

2

），消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0，则x₁x₂=

p2

4

又x2=

p

λ

+

p

2

 （7分）
故x1=

p2

4x2

=

λp

2λ+4

  （9分）
因为|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差数列，
所以|

B1F

|+2|

A1F

|=2|

OF

|，
故（x₂-

p

2

）+2（

p

2

-x₁）=p，即x₂-2x₁=

p

2

将x2=

p

λ

+

p

2

，x1=

λp

2λ+4

代入上式得

1

λ

=

λ

λ+2

因为λ＞0，所以λ=2．   （12分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．