设
，证明：
(Ⅰ)当x﹥1时，
﹤ 
（ 
）；
(Ⅱ)当
时，
。
见解析
【解析】(Ⅰ)证法一：记
，
则当x>1时，
.
又
有
, 即
证法二：由均值不等式，当x>1时，
，故
①
令
，则
，
.
故
，即
②
由①②得，当x>1时，.
(Ⅱ)（证法一）
记
，
由(Ⅰ)得
令
，
则当1<x<3时，
因此
在（1,3）内是递减函数，
又由，得，
所以
因此
在（1,3）内是递减函数，
又由
，得
.
于是，当1<x<3时，
（证法二）：
记
则当1<x<3时，由(Ⅰ)得
因此在(1,3)内单调递减
又，所以即.
考点定位：本大题考查导数题目中较为常规的类型题目，考查的切线，单调性，以及最值问题都是课本中要求的重点内容，考查构造函数用求导的方法求最值的能力
科目：高中数学 来源：2015届辽宁实验中学分校高二上学期期中考试文科数学试卷（解析版） 题型：解答题
设数列
的前
项和为
，
（1）求
，
；
（2）设
，证明：数列
是等比数列；
（3）求数列
的前项和为
．
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科目：高中数学 来源：2011年天津市招生统一考试理科数学 题型：解答题
（本小题满分14分）
已知数列
与
满足：
， 
，且
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
，证明：
是等比数列；
（Ⅲ）设
证明：
．
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年河北省高三第一次调研考试数学理卷 题型：解答题
（本题满分10分）
已知数列
中，
，
，且
．
（1）设
，证明
是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
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中，
，
．
(1)设
．证明：数列
是等差数列；
项和
．